По описанию картина больше похожа на вирусную инфекцию (насморк, кашель, температура, контакт с заболевшим родственником), а не сразу на бактериальную, требующую антибиотика. Прежде чем начинать Флемоксин, разумно сделать общий анализ крови — по его показателям (уровень лейкоцитов, СОЭ, лейкоцитарная формула) врач может достовернее оценить, есть ли бактериальное осложнение. Если анализ не показывает выраженного воспаления бактериального характера и ребёнок не температурит больше 3 дней подряд выше 38, антибиотик можно пока не давать — избыточное его применение при вирусной инфекции не ускоряет выздоровление, а лишь повышает риск формирования устойчивости бактерий в будущем.
Ваша текущая тактика в целом верная: промывание носа солевым раствором, обильное питьё, увлажнение воздуха в комнате (около 40–50% влажности) — это помогает разжижать слизь и облегчает откашливание и дыхание через нос. При выраженной заложенности носа перед сном можно использовать сосудосуживающие капли для детей коротким курсом (не более 3–5 дней), закапывая их поочерёдно в каждую половину носа с наклоном головы, затем через несколько минут отсосать содержимое и промыть нос повторно. Противовирусный препарат в форме капель в нос (тот, что вы уже используете) и антигистаминное средство можно продолжать по рекомендации педиатра.
Жаропонижающее (ибупрофен или парацетамол) стоит давать при температуре от 38–38,5°C и выше, при необходимости их можно чередовать с интервалом не менее 5–6 часов между разными препаратами. Насчёт кашля — важно уточнить у врача при осмотре, влажный он или сухой: если влажный, препараты, подавляющие кашлевой рефлекс, противопоказаны, а помогают ингаляции с физраствором и муколитики только по назначению врача. Обязательно очно покажите ребёнка педиатру повторно, особенно если температура держится больше 3 дней, появляется одышка, отказ от еды и питья, вялость или хрипы в груди — это повод для срочного осмотра и, возможно, пересмотра тактики лечения.