Судя по описанию, картина крови отражает уже перенесённый воспалительный процесс (изменённое соотношение нейтрофилов и лимфоцитов, ускорение СОЭ), а не активную бактериальную инфекцию, требующую немедленного антибактериального лечения. При отсутствии температуры, гнойных выделений из носа и явных признаков бактериального осложнения назначение антибиотика на этом этапе действительно не выглядит обязательным — стоит уточнить у педиатра динамику показателей, возможно повторный анализ через несколько дней расставит точки.
Что касается текущей терапии: длительный ночной сухой кашель у ребёнка, посещающего сад, часто связан с постинфекционной гиперреактивностью бронхов или остаточным воспалением дыхательных путей после ОРВИ. Ингаляционный гормональный препарат стоит применять только по чёткому назначению врача и ограниченным курсом, а не постоянно — если показаний к нему сейчас нет, его лучше отменить и заменить, при необходимости, на ингаляции с бронхорасширяющим средством и препаратом, разжижающим мокроту, но это должен подобрать очно педиатр или пульмонолог.
Домашние средства типа редьки с мёдом эффективность не доказана, а мёд у детей младше 5 лет может провоцировать аллергию, поэтому от них лучше отказаться. Обеспечьте увлажнение воздуха в спальне, обильное тёплое питьё, регулярное промывание носа солевым раствором даже при отсутствии соплей — это помогает уменьшить раздражение слизистой и облегчить кашель. Если кашель не проходит больше 3–4 недель, усиливается, появляется одышка, свист при дыхании, температура или ребёнок теряет вес — нужен очный осмотр с аускультацией, возможно рентген грудной клетки и консультация пульмонолога.