По описанию и присланным фотографиям стоп у вас и у сына картина соответствует мелкоточечному кератолизу — поверхностному поражению кожи, которое вызывают бактерии на фоне повышенной потливости стоп, ношения закрытой обуви и мелких травм кожи. Это состояние не относится к высококонтагиозным заболеваниям, но общие бытовые факторы (влажная обувь, тесные носки, посещение бассейна) могли привести к появлению похожих изменений у вас обоих одновременно, поэтому переживать о серьёзном заражении не стоит.
В лечении обычно применяют местное антибактериальное средство в форме мази или крема, которое наносят на очаги 2 раза в день курсом около 2–3 недель до полного исчезновения точечных вдавлений. Дополнительно полезны подсушивающие ванночки для стоп, использование хлопчатобумажных носков и дышащей обуви, а также периодическая обработка внутренней поверхности обуви антисептическим раствором для профилактики повторного заражения. После основного курса можно применять восстанавливающий увлажняющий крем для кожи стоп.
Поскольку у ребёнка выбор и длительность применения любых наружных средств должны определяться очно с учётом возраста и переносимости, рекомендую показать сына детскому дерматологу или педиатру для подтверждения диагноза и подбора подходящей формы лечения. Взрослому также стоит на очном приёме уточнить диагноз, особенно если изменения не проходят самостоятельно или сопровождаются неприятным запахом, зудом или болезненностью — в этом случае визит к врачу не стоит откладывать.